Determinant의 특성 - eigenvalue들의 곱

「Deep learning」, Ian Goodfellow et al.

 

determinant 의 특성중에 이런 특성이 있다. 

행렬 A가 nxn square matrix, symmetric matrix일 때,

$$ \textrm{det}(A)=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$$

행렬 A의 determinant (행렬식) 은 고유값(eigenvalue) 들의 곱과 같다. 

 

왜 그럴까?

이는 고유값과 고유벡터의 관계에 기인한다. 

Eigendecomposition 에 의해 정방행렬이자 대칭행렬인 A는 다음과 같이 분해될 수 있다. 

$$A=QDQ^{-1}$$

이때 Q는 Orthogonal vector이고, D는 고유값들을 대각성분으로 가진 대각행렬을 나타낸다. 

Orthogonal matrix의 eigenvalue는 항상 1 또는 -1이다. 

따라서 Orthogonal matrix의 determinant 또한 항상 1 또는 -1 이다. 

 

그리고 역행렬의 determinant는 기존 행렬의 determinant의 역수이다. 

$$\textrm{det}(A)=\frac{1}{\textrm{det}(A^{-1})}$$

 

따라서 $\textrm{det}(Q)\textrm{det}(Q^{-1})=1$ 이다. 

 

행렬식의 multiplicativity 성질에 의해 determinant의 곱셈은 분해가 되고, 다음과 같은 결과를 얻는다. 

$$\textrm{det}(A)=\textrm{det}(Q)\textrm{det}(D)\textrm{det}(Q^{-1})=\textrm{det}(D)=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}=\prod_{i}^{n}\lambda _{ii}$$

 

따라서 정방행렬이자 대칭행렬 A의 determinant 는 고유값들의 곱이다.