가역행렬 정리

아래의 내용은 Dacid C.Lay et al. 의 Linear Algebra and Its Application 에 있는 모든 가역행렬 theorem 을 정리한 것이다.

 

가역행렬 정리

A를 nxn 정방행렬이라 하면, 아래 각 명제는 모두 A가 가역행렬이라는 명제와 동치이다.

 

a. A는 nxn 단위행렬과 행 동치이다. (**가우스 조던 소거법을 통해 단위행렬로 대각화할 수 있다는 것)

b. A는 n개의 추축위치를 갖는다. (**n개의 pivot 원소를 가진다, Full-rank 행렬, 모든 행과 열이 선형 독립)

c. 방정식 $A\textbf{x}=\textbf{0}$ 의 해는 자명한 해뿐이다. (**유일한 해가 제로 벡터로 자명하다)

d. 선형변환 $\textbf{x}\mapsto A\textbf{x}$는 일대일이다.

e.  $\mathbb{R}^{n}$ 에 속하는 각 $\textbf{b}$에 대해서 방정식 $A\textbf{x}=\mathbf{b}$는 적어도 하나의 해를 갖는다.

f. A의 열들은 $\mathbb{R}^{n}$를 생성한다.

g. $CA=I$ 를 만족하는 nxn 행렬 $C$가 존재한다.

h. $AD=I$ 를 만족하는 nxn 행렬 $D$가 존재한다.

i. $A^{T}$는 가역행렬이다.

j. A의 열벡터들은 $\mathbb{R}^{n}$의 기저이다.

k. $\left ( \textup{Col}\ A \right )^{\perp }=\mathbb{R}^{n}$

l. $\textup{dim}\ \textup{Col}\ A=n$

m. $\textup{rank}\ A=n$

n. $\textup{Null}\ A=\left\{0 \right\}$

o. $\textup{dim}\ \textup{Nul}\ A=\left\{0 \right\}$

p. $\left ( \textup{Col}\ A \right )^{\perp }=\left\{0 \right\}$

q. $\left ( \textup{Nul}\ A \right )^{\perp }=\mathbb{R}^{n}$

r. $\textup{Row}\ A= \mathbb{R}^{n}$

s. A가 n개의 0이 아닌 특이값을 갖는다. (**마찬가지로 A는 항상 n개의 0이 아닌 고윳값을 갖는다.)

        고유값은 행렬의 특성 방정식의 해이며, n차 방정식은 항상 n개의 복소수 해를 가지기 때문이다.

 

 

핵심: 행렬이 가역적이려면 그 행렬의 행들이 선형 독립이어야 하며, 이는 모든 고유값 또는 특이값이 0이 아니어야 함을 의미한다.